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Avant-propos 1 Fondements des séries de Fourier 1.1 Généralités et notations 1.1.1 Fonction continue par morceaux 1.1.2 Fonction périodique 1.1.3 Convolution de deux fonctions périodiques 1.1.4 Fonction à variation bornée 1.1.5 Fonction absolument continue 1.1.6 Fonction a-holderienne 1.2 Séries trigonométriques 1.2.1 Introduction et définitions 1.2.2 Convergence des séries trigonométriques 1.2.3 Dérivation et intégration de la somme 1.3 Construction des séries de Fourier 1.3.1 Cadres fonctionnels 1.3.2 Structure préhilbertienne de CRm,2p(R, C) 1.3.3 Approximation de l'unité 1.3.4 Coefficients de Fourier d'une fonction 1.3.5 Propriétés des coefficients de Fourier 1.4 Développement en série de Fourier 1.4.1 Théorèmes de convergence de type Dirichlet 1.4.2 Théorème de convergence de Fejér 1.4.3 Théorème de convergence d'Abel-Poisson 1.4.4 Théorème de Dini-Lipschitz et estimations 1.5 Quelques comparaisons et commentaires 1.5.1 Comparaison des trois noyaux trigonométriques 1.5.2 Relation entre régularité et coefficients de Fourier 1.6 Fonction T-périodique 1.6.1 Séries de Fourier 1.6.2 Bases de Fourier 1.7 Exercices corrigés 1.7.1 Calcul de sommes et d'intégrales 1.7.2 Quelques noyaux trigonométriques 1.7.3 Applications des séries de Fourier 1.7.4 Exercices de synthèse 2 Approfondissements et mise en oeuvre 2.1 Fonctions à Série divergente 2.2 Séries trigonométriques vs Fourier 2.2.1 Série trigonométrique et série de Fourier quel lien? 2.2.2 Critères suffisants d'identification 2.3 Phénomène de Gibbs 2.3.1 Exemple : signal carré 2.3.2 Exemple : signal en dents de scie 2.3.3 Exemple : traitement d'image 2.4 Mise en oeuvre avec python 2.4.1 Signal carré 2.4.2 Signal en dents de scie 2.4.3 Signal triangulaire 2.4.4 Comparaison synthétique des trois signaux 3 Applications des séries de Fourier 3.1 Sommes de quelques séries 3.2 Valeur moyenne d'une fonction 3.3 Développement eulérien 3.4 L'inégalité deWirtinger 3.5 Inégalité de Bernstein 3.6 Formule sommatoire de Poison 3.7 Sommes de Gauss et intégrales de Fresnel 3.8 Équation différentielle ordinaire 3.9 Équation aux dérivées partielles 3.9.1 Équation de la chaleur 3.9.2 Équation des ondes avec conditions périodiques 3.9.3 Équation de Poisson dans un disque 3.10 Inégalité isopérimétrique 4 Thèmes Complémentaires 4.1 Bases de Fourier en dimension 2 4.1.1 Séries de Fourier en dimension 2 4.1.2 Régularité et convergence 4.2 Transformée de Fourier Discrète 4.2.1 Transformée de Fourier Discrète en dimension 1 4.2.2 Transformée de Fourier Discrète en dimension 2 4.3 Espaces de Sobolev périodiques 4.3.1 Espaces de Sobolev périodiques en dimension 1 4.3.2 Espaces de Sobolev périodiques en dimension 2 5 Problèmes avec solutions 5.1 Problème 1 5.2 Problème 2 5.3 Problème 3 5.4 Problème 4 5.5 Problème 5 Bibliographie Index

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